Determinar la Relacion C/A para una estructura HCP

La relación entre la altura c del prisma hexagonal de la estructura y el lado a de su base se llama relación c/a para algunos metales HCP. De entre los metales cinc, cadmio, entre otros, tiene una relación c/a superior a la ideal lo que indica que los átomos en estas estructuras están ligeramente elongados a lo largo del eje c en la celdilla unidad HCP. Los metales como el magnesio, cobalto, circonio, titanio y berilio tienen una relación c/A menor que la ideal, por tanto, en estos metales los átomos están ligeramente comprimidos en la dirección del eje c. Así, estos metales presentan ciertas desviaciones del modelo ideal de esferas rígidas.

Para empezar esta demostración tenemos que definir la altura del H.C.P. siendo igual a “c”. Cada uno de los lados del hexágono que se encuentran en los planos superior e inferior será igual a “a”. Analizando la estructura se puede observar que se puede dividir en tres sub estructuras iguales, con lo que se procede a realizar el análisis de los triángulos internos

Teniendo en consideración que al dividir la estructura los triángulos obtenidos son equiláteros (lo que nos dice que sus lados son todos iguales) y tendrán un valor de “a” sus lados. Sumado a esto, se asume el principio de “esfera rígida” donde el punto “e” se encuentra equidistante de los planos superior e inferior y también se encuentra a 𝐶2 de dichos planos y la distancia de 𝑒𝑓=𝑒ℎ=𝑓ℎ=𝑓𝑔=𝑔ℎ=𝑒𝑔=𝑎=2𝑟.

analizando el tetraedro formado por los puntos "e", "f", "g" y "h" se tiene la proyección del punto "e" la cual se llamara "i" y este punto es el baricentro ; orto centro; circucentro e incentro del triangulo HFG, que es un triangulo equilatero con los lados igual "a" ( en un triangulo equilatero estos puntos coinciden) y el segmento EL = c/2

como "i" es el incentro, el segmento FL  es la bisectriz del angulo °HFG que tiene un valor de 60° por ser triangulo equilatero, entonces:

⇾ hfi = ifm
⇾ fhg= fhi + ifm
⇾ fhg = 2 ifm
⇾ 60°2 = ifm
⇾ Ifm = 3

Como "i" es el baricentro, LM es mediana del segmento FG siendo "m" punto medio entonces FM=MG=a/2

El angulo IMF=90° por ser la altura

Aplicamos entonces: Cos(30°)=𝑓𝑚𝑓𝑖 ⇾ Cos(30°)= √3/2
⇾ 𝐶𝑜𝑠(30°)= 𝑎/2/𝑓𝑖
⇾ 𝑓𝑙=𝑎/√3
Se aplica Pitágoras al triángulo formado en “fei” y sustituimos en la ecuación para obtener: